Parametrisierung der Grenze des Mandelbrot-Satzes

Kann jemand die Grenze des Mandelbrot-Sets parametrisieren? Ich bin kein Fraktal-Geometer oder eine dynamische Systemperson. Ich habe nur ein wenig Neugier auf diese Frage.

Der Mandelbrot-Satz ist üblicherweise definiert als die Menge $ M $ aller Punkte $ c \ in \ mathbb {C} $, so dass die Iterate der Funktion $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, beginnend bei $ z = 0 $ , bleibe für immer gebunden. Die meisten sehr schönen Darstellungen der Mandelbrotmenge zeigen $ M $ als Schnittpunkt einer unendlichen Folge von Mengen $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, wobei die Grenze von $ M_i $ die Kurve $ | z_i (c ) | = K $. Hier ist $ z_i (c) $ die $ i $ th -Iterate von $ z \ mappsto z ^ 2 + c $, beginnend bei $ z = 0 $, und $ K $ ist eine Konstante, die garantiert, dass zukünftige Iterationen entkommen. Diese Kurven $ \ partially (M_i) $ führen den Betrachter dazu, die immer komplizierteren Teile des Mandelbrot-Sets zu sehen.

Jede dieser Kurven $ \ partially (M_i) $ ist analytisch und geschlossen. Sie können somit gut mit einer trigonometrischen Reihe parametrisiert werden. Um genauer zu sein, jede Grenze hat eine Parametrisierung der Form $$ z (t) = \ Summe_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ Summe_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (kt). $$ (Da jede Grenze $ \ partiell (M_i) $ durch eine Polynomgleichung in den Real- und Imaginärteilen von $ c $ bestimmt wird, sollte jede dieser Reihen enden. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.) Ich würde denke, dass der begrenzende Pfad auch eine schöne Parametrisierung mit einer trigonometrischen Reihe haben sollte. Ist dieses Limit für alle $ K $ gleich? Wenn das Limit nicht für alle $ K $ gleich ist, gibt es dann ein Limit als $ K \ rightarrow \ infty $? Was sind die Fourier-Koeffizienten?

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Ihre vorgeschlagene Grenzparametrisierung scheint nicht eindeutig definiert zu sein, da (soweit ich weiß) keine kanonische Einheitszeitparametrisierung existiert und die Fourierkoeffizienten durch eine Reparametrisierung geändert würden.
hinzugefügt der Autor ricree, Quelle
Warum parametrieren Sie nicht nur die Grenzkurven nach Lichtbogenlänge? Ja, die Lichtbogenlänge erhöht sich auf unendlich, aber Sie komprimieren sie weiter in ein Einheitsintervall.
hinzugefügt der Autor Yursev, Quelle

6 Antworten

Lasses Antwort wurde erweitert: Lassen Sie $ \ psi $ die Karte des Äußeren der Einheitsscheibe auf das Äußere des Mandelbrot-Sets mit Laurent-Serie sein $$ \ psi (w) = w + \ Summe_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} + \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $$ Dann ist die Grenze des Mandelbrot-Satzes natürlich das Bild des Einheitskreises unter dieser Karte. Dies hängt jedoch von der (noch nicht bewiesenen) lokalen Verbundenheit dieser Grenze ab. Hier ist für die Koeffizienten $ b_n $ keine geschlossene Form bekannt, aber sie können rekursiv berechnet werden. Natürlich setzen wir $ w = e ^ {i \ theta} $ und dann ist das eine Fourier-Serie.

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Gerald: Das sieht ziemlich gut aus. Ist das die Grenze dieser Grenzkurven? Können Sie eine Referenz für die rekursive Formel für die Koeffizienten $ b_n $ angeben?
hinzugefügt der Autor J. Chomel, Quelle
Gerald: Ich glaube, ich habe einen guten Platz online gefunden, um darüber zu lesen, in " mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" ; Danke, dass Sie mich in die richtige Richtung weisen.
hinzugefügt der Autor J. Chomel, Quelle
hinzugefügt der Autor Adam, Quelle

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie fragen. Die Grenze der Mandelbrot-Menge ist sicherlich keine analytische Kurve. Tatsächlich zeigt ein berühmtes Ergebnis von Shishikura, dass die Grenze des Mandelbrot-Satzes Hausdorff-Dimension 2 aufweist.

Tatsächlich ist nicht einmal bekannt, ob die Grenze überhaupt eine Kurve ist (d. H. Lokal verbunden): Dies ist derzeit wahrscheinlich die berühmteste Vermutung in der eindimensionalen holomorphen Dynamik.

Wenn die Mandelbrotmenge lokal verbunden ist, dann gibt es eine natürliche Beschreibung der Grenze der Mandelbrotmenge (als die Grenzwerte der Riemann-Karte des Komplements von $ M $); dies ist in vielerlei Hinsicht auch als eine natürliche kombinatorische Beschreibung bekannt. Wie oben erwähnt, ist diese Parametrisierung jedoch nicht analytisch oder sogar $ C ^ 1 $.

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Lassse: Ich frage nach den Grenzkurven $ \ partial (M_i) $, die für alle $ i $ und alle $ K $ analytisch sind. Zum Beispiel, wenn $ K = 2 $, dann ist $ \ partiell (M_1) $ der Kreis $ | c | = 2 $, $ \ partiell (M_2) $ ist die Kurve $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ partially (M_3) $ ist die Kurve $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $ usw.
hinzugefügt der Autor J. Chomel, Quelle
Ich dachte, du fragst nach der Grenze dieser Kurven, die die Grenze des Mandelbrot-Sets sind? Ich sollte erwähnen, dass eine natürlichere Annäherung der Grenze der Mandelbrotmenge über die Niveausätze der Uniformisierungsfunktion des Komplements von $ M $ ("Äquipotentiale") erfolgen würde. Wenn $ K $ ausreichend groß ist, liegen diese Äquipotentiale nahe bei den von Ihnen beschriebenen Kurven.
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle

Um auf Gerald Edgars Antwort zu antworten, sind einige Schlüsselphrasen, auf die Sie eingehen können, "Douady-Hubbard Potential" und " externe Strahlen . "

Ein externer Strahl ist das Bild des Strahls $ \ arg z = \ theta $ für fixed $ \ theta $ unter Geralds konformer Karte $ \ psi $.

Das Douady-Hubbard-Potential ist nur das harmonische Konjugierte des externen Ray-Arguments: es ist das Potential für Die äußeren Strahlen sind die Feldlinien.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass nicht bewiesen wurde, dass $ \ psi (\ zeta) $ für alle $ \ zeta $ auf dem Einheitskreis gut definiert ist, aber ich denke, es wird vermutet, dass es so ist. (Manchmal wird dies so formuliert, dass der äußere Strahl "landet".) Es ist jedoch bekannt, dass die externen Strahlen in rationalen Winkeln $ 2 \ pi m/n $ landen, und außerdem ist die Dynamik an den Landepunkten auf der Grenze miteinander verknüpft zum Bruchteil $ m/n $ auf wirklich nette Weise. (Es gibt eine Analogie zwischen der Verdopplungskarte $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ auf dem Kreis und holomorphe Karten $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ und die Dynamik von $ \ Theta $ unter der ersten Map sind mit der Dynamik der Karte $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $ verbunden, wobei $ c_ \ theta $ der Landepunkt des entsprechenden Strahls an der Grenze der Mandelbrotmenge ist.) Somit ist diese Parametrisierung der Grenze tatsächlich ein wichtiges und natürliches Objekt (wenn es, wie vermutet, gut definiert ist).

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$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

Hier sind einige Bilder, Code und Beschreibung, die einige Parametrisierungen zeigen:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

Kreis zur Grenzparametrisierung

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Newton-Methode:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

Kreis zur Komponente (oder deren Teil):

http://commons.wikimedia.org/w/index. php? title = Datei: Mandelbrot_set_Components.jpg

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Meine Vermutung wäre, dass eine solche Parametrisierung nicht funktionieren würde. Versuchen Sie etwas ähnliches für eine einfachere (in bestimmten Gesichtspunkten) Struktur wie eine Koch-Schneeflocke. Könnte Ihre Herangehensweise an die Parametrisierung Ihnen erlauben, eine Funktion basierend auf $ n $ zu generieren, die Anzahl rekursiver Iterationen, die verwendet werden, um die Schneeflocke in einer bestimmten Tiefe zu erzeugen? Ich würde nicht denken. Sie könnten, zumindest für die Koch-Kurve, die "Gummiband" -Rumpf um ihn herum parametrisieren, aber das wäre trivial für die meisten rekursiv definierten Objekte.

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Werfen Sie einen Blick auf "Externe Winkel". Anscheinend wird eine Linie, die aus der Unendlichkeit in jedem Winkel eindringt und immer senkrecht zu den möglichen Linien bleibt, irgendwann das Set berühren.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Ich versuche immer noch, die genaue Mathematik hinter ihnen selbst herauszufinden. Seine Haskell-Quellen sind Krypto für mich.

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