Warum sind die Julia-Sets so einfach? (quadratische Familie)

Ich möchte wissen, warum ich, wenn ich mir die Julia-Sets der quadratischen Familie anschaue, nur eine begrenzte Anzahl von sich wiederholenden Mustern und nicht eine zählbare Unendlichkeit davon sehe.

Meine Frage bezieht sich speziell auf das Zusammenwirken dieser drei Theoreme:

Theorem 1: Let $z_0\in\mathbb{C}$ be an repelling periodic point of the function $f_c:z\mapsto z^2+c$. Tan Lei proved in the 90s that the filled in Julia set $K_c$ is asymptotically $\lambda$-self-similar about $z_0$, where $\lambda$ denotes the multiplier of the orbit.

Theorem 2: (Iterated preimages are dense) Let $z\in J_c$, then the preimages of $z$ under the set $\cup_{n\in\mathbb{N}} ~ f^{-n}(z)$ is dense in $J_c$

Theorem 3: $J_c$ is the closure of repelling periodic points.

Lassen Sie uns auf Satz 1 eingehen:
Technisch bedeutet dies, dass der Satz $ (\ lambda ^ n \ tau _ {- z_0} K_c) \ cap \ mathbb {D} _r $ (in der Hausdorff-Metrik der kompakten Teilmengen von $ \ mathbb {C} $) einem Satz $ entspricht X \ cap \ mathbb {D_r} $ wobei das Limit-Modell $ X \ subset \ mathbb {C} $ ein solcher $ \ lambda $ -selbstähnlicher ist: $ X = \ lambda X $.
Praktisch bedeutet dies, dass, wenn man in einen Computer zoomt, der $ K_c $ um $ z_0 $ generiert, das Bild für alle praktischen Zwecke selbstähnlich wird. Durch erneutes Zoomen um $ z_0 $ werden keine neuen Informationen erhalten.

Lei hat auch bewiesen, dass $ K_c $ asymptotisch $ \ lambda $ -selbstähnlich ist, was die Vorbilder von $ z_0 $ betrifft, mit demselben Limit-Modell $ X $, bis hin zu Rotation und Neuskalierung. Dies bedeutet, dass das Heranzoomen an jedem Punkt des Abstoßungszyklus von $ z_0 $ im Grunde dasselbe Spektakel bietet, das, abgesehen von einem Drehen, das Zoomen in $ z_0 $ bewirkt. Nicht nur, aber die Vorbilder von $ z_0 $ sind in $ J_ {c} $ (Satz 2) dicht, was bedeutet, dass dieses $ X $ -Muster in der gesamten Julia-Gruppe zu sehen ist.

Betrachten wir nun einen anderen abstoßenden periodischen Punkt $ z_1 $. Lei sagt uns, dass $ K_c $ asymptotisch in Bezug auf $ z_1 $ und alle seine Vorbilder selbstähnlich sein wird, wobei ein a priori anderes Limit $ Y $ gesetzt wird. Da die Vorbilder von $ z_1 $ auch in $ J_c $ dicht sind, können wir das Limit-Modell $ Y $ über $ J_c $ beobachten.

a priori für jeden abstoßenden periodischen Orbit, sollte es ein zugehöriges Grenzmodell geben, und jedes dieser Grenzmodelle könnte unterschiedlich sein. Wenn ich jedoch einen von einem Computer generierten Julia-Satz anschaue, scheinen sich die asymptotisch selbstähnlichen Teile davon einem endlosen Set Limitmodelle (bis zur Rotation).

Wieso ist es so? Vielleicht kann mein Auge den Unterschied nicht sehen? Oder der Computer kann nicht alle Details generieren?

Oder sind die Limit-Modelle endlich?

Simple Julia zoom In this image (read like a comic strip), I zoom into the neighbourhood of a point, four times, then purposely "miss the center", and zoom onto a detail for four more times. The patterns that emerge are very similar. Are they the same?
This is perhaps one of the simplest Julia set, but the experience is

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@AndreaDiBiagio Haben Sie das Gefühl, dass Fragen aus Ihrem Posting noch offen sind? Wenn nicht, können Sie vielleicht eine Antwort akzeptieren?
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
@AndreaDiBiagio Übrigens, das Ergebnis über asymptotische Selbstähnlichkeit an den abstoßenden periodischen Punkten folgt aus dem klassischen Koenigs-Theorem, 100 Jahre vor Tan Leis Arbeit, die asymptotische Selbstähnlichkeit in der Parameterebene zeigt ( und dass das Bild in der Dynamik- und Parameterebene gleich ist).
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
@ LasseRempe-Gillen Entschuldigung, es hat so lange gedauert. Ich war abgelenkt. Ihre Antwort hat es für mich getan.
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
@Polygnome Es ist eine kleine iOS-App mit dem Namen Fast Fractal, aber ich habe ähnliche Dinge mit JuliaTreck auf MacOS gesehen
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
Die Punkte auf einer "Wirbelsäule", an der sich zwei "Lappen" treffen, sind Vorbilder des gleichen, gleichen abstoßenden periodischen Punktes. (Betrachten Sie sie als Analoga rationaler Zahlen, deren Nenner eine Potenz von 2 ist.) Die Vorbilder all dieser anderen abstoßenden periodischen Punkte liegen zwischen ihnen ...
hinzugefügt der Autor Eric Boberg, Quelle
Mit welcher Software haben Sie diese Fraktale erstellt?
hinzugefügt der Autor Flimm, Quelle

5 Antworten

Julia-Sets sind alle sehr eng mit selbstähnlichen Sets verbunden - jeder kann als der unveränderliche Satz von etwas wie einem iterierten Funktionssystem betrachtet werden. Insbesondere ist die Julia-Menge von $ f (z) = z ^ 2 + c $ die Schließung der periodischen Abstoßungspunkte von $ f $. Daher ist es sinnvoll, dass das Julia-Set selbst unter einer Umkehrung von $ f $ attraktiv sein sollte, und es gibt zwei solcher Umkehrungen: $$ f _ {\ pm} ^ {- 1} (z) = \ pm \ sqrt {z-c}. $$

Eigentlich, $$ J = f _ {+} ^ {- 1} (J) \ cup f _ {- 1} ^ {- 1} (J) $$ so dass es fast selbstähnlich aussieht. Hier ist eine kostenlose Grafik, die die Ides für $ c = -1 $ veranschaulicht:

enter image description here

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Das ist ein schöner Punkt - er ähnelt in gewisser Weise der Dragon-Kurve, en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve aber nicht linear. Die Ähnlichkeiten mit en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve sind ziemlich offensichtlich Wenn es eine natürliche Verformung gibt, die diese beiden Fraktale interpoliert ...
hinzugefügt der Autor RQDQ, Quelle
Iterierte Funktionssysteme wurden eingeführt, um diese Eigenschaft der quadratischen Julia-Mengen zu verallgemeinern. Siehe Beispiel 14 in MR0799111 Barnsley, M. F .; Demko, S. Iterierte Funktionssysteme und die globale Konstruktion von Fraktalen. Proc. Roy. Soc. London Ser. A 399 (1985), Nr. 1817, 243–275.
hinzugefügt der Autor Margaret Friedland, Quelle
@MarkMcClure Sie erhalten unendlich viele verschiedene Skalierungsgrenzen im selben Julia-Set. Andrea hat Recht, dies zu erwarten, er hat einfach nicht die richtigen Stellen zum Vergrößern ausgewählt (und außerdem ist es unwahrscheinlich, dass die verschiedenen Spiralmuster mit dem Auge erfasst werden, wenn der Modul des Multiplikators nicht nahe 1 ist).
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
@ MarkMcClure, Sie scheinen meine Frage missverstanden zu haben. Ich bin nicht überrascht, dass ich immer wieder dieselben Muster sehe. Dies ist eine Folge von T1 und T2 und kann auch dank Ihrer Antwort verstanden werden. Ich bin überrascht, dass es so wenige dieser Muster gibt. T1, T2, T3 lassen mich glauben, dass es unendlich viele periodische Punkte gibt, die jeweils zum Selbstbewusstsein beitragen. Ähnlichkeit von $ J $, ich sollte beliebig viele verschiedene Formen vergrößern können!
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
Dies ist sehr klar, beantwortet aber nicht meine Frage, die sich auf die Geometrie in kleinen und kleineren Umgebungen bestimmter Punkte bezieht. Ihre Antwort spricht ganz klar die globale Quasi-Selbstähnlichkeit an.
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
Sie sind überrascht, dass Sie nicht alle diese Muster in einem einzigen Julia-Set sehen? Es scheint mir, dass die Selbstkonformität des Sets impliziert, dass dies unwahrscheinlich ist. Natürlich können Sie alle Arten von Spiralmustern finden, wenn Sie $ c $ variieren. Sie sollten auch verstehen, dass es quadratische Julia-Sets gibt, die nicht berechenbar sind - niemand weiß, wie sie aussehen! Also ist jede Antwort irgendwie unvollständig
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle
@AndreaDiBiagio Selbstähnliche Sets haben genau die Eigenschaft, nach der Sie fragen - nämlich dass die gleichen Mustertypen immer wieder angezeigt werden, wenn Sie die Ansicht vergrößern. Die Antwort richtet sich also definitiv direkt auf Ihre Frage. Ich gebe jedoch zu, dass ich eher davon ausgegangen bin, dass der Leser diese Eigenschaft selbstähnlicher Mengen kennt, und ich hätte das im Post klarer machen können.
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle

Um meinen Kommentar zu erweitern und die Selbstähnlichkeit von Julia-Sets und der Drachenkurve zu betonen, hier eine Interpolation zwischen den beiden.

enter image description here

Jeder Frame wird von zwei komplexen Funktionen generiert:

f1[z_, t_] := ((1.0 + I) z/2) t + (1 - t) (Sqrt[z + 0.9 I]);
f2[z_, t_] := (1 - (1.0 - I) z/2) t + (1 - t) (-Sqrt[ z + 0.9 I]);

Dabei geht $ t $ in den Animationsbildern von $ 0 $ auf $ 1 $. Für $ t = 0 $ haben wir das klassische Julia-Fraktal für $ c = -0,9i $, und bei $ t = 1 $ haben wir die zwei Generatoren für die Drachenkurve.

Was ist mit den Farben? Sei $ J $ anziehend. Dann ist $ f_1 (C) $ die schwarze Menge und $ f_2 (C) $ die blaue Menge und $ C = f_1 (C) \ cup f_2 (C) $. Dies legt den Schwerpunkt auf sich selbstähnliche Natur.

Beachten Sie, dass im Fall der Drachenkurve, da $ f_1 $ und $ f_2 $ analytisch und affin sind, sie das Bild überhaupt nicht verzerren. Daher werden exakte Kopien auf kleineren Ebenen angezeigt. Im Julia-Fall haben wir nur analytische Karten, daher gibt es einige Verzerrungen, die durch die Quadratwurzel verursacht werden, aber das Bild bleibt mehr oder weniger erhalten (dies ist die Art der analytischen Karten).

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@ MarkMcClure: Ja, vielleicht war das nicht das beste Beispiel - aber ich denke, die Aspekte der Selbstähnlichkeit sind klar ... vielleicht gibt es ein besseres Julia-Set, mit dem man interpolieren kann. Ich habe mit verschiedenen Parametern nicht so viel experimentiert.
hinzugefügt der Autor RQDQ, Quelle
Eine direkte Verbindung zwischen der Drachenkurve und Julia-Sets finden Sie unter Milnors "Zusammenfügen von Julia-Sets: Ein ausgereiftes Beispiel für die Paarung" emis.de/journals/EM/expmath/volumes/13/13.1/Milnor.pdf
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
Das ist interessant, beantwortet aber meine Frage nicht.
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
Ich mag diese Antwort, werte sie auf und bearbeitete sie ein wenig, um die Animation zu verbessern. Die Bearbeitung ist nach meinem Ansehen nur sichtbar, wenn sie von der Überprüfungswarteschlange genehmigt wird. Sie können meine Version der Animation anzeigen . Ich bin ein bisschen verwirrt, warum Sie sich für ein völlig getrenntes Julia-Set und ein zweidimensionales, sich selbst ähnliches Plättchen entschieden haben, das nicht homöomorph sein kann.
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle

Wie @GNiklasch hervorhebt, scheinen Sie an zwei Stellen zu zoomen, die beide Vorbilder des gleichen abstoßenden periodischen Punktes sind. Die Bilder des Julia-Sets sind also lokal durch eine konforme Karte miteinander verbunden und daher tatsächlich asymptotisch gleich.

Wenn Sie an verschiedenen abstoßenden periodischen Punkten vergrößern, haben diese im Allgemeinen unterschiedliche Multiplikatoren. Wenn Sie beispielsweise periodische Punkte in einem Beispiel von der realen Achse betrachten, erwarten Sie komplexe Multiplikatoren und damit spiralförmige Verhaltensweisen bei kleinen Maßstäben.

Look at this picture:quadratic Julia set

Es gibt einen periodischen Punkt innerhalb der "Kaninchen" -Teile, wo es viele Spiralen gibt. Es gibt auch einen festen Punkt, der das große Kaninchen in der Mitte mit dem linken verbindet. (Für diejenigen, die wissen, was dies bedeutet, ist letzteres der $ \ alpha $ -Festpunkt des Polynoms, während ersteres der $ \ alpha $ -Festpunkt seiner Renormierung ist.) Schließlich gibt es noch einen weiteren festen Punkt rechts des Bildes.

Das Julia-Set sieht bei jedem von ihnen anders aus.

EDIT. You can get an even clearer example by considering infinitely renormalisable quadratic polynomials. Consider the following procedure to select a parameter. Start at c=0, the centre of the main cardioid. Then move to the centre of the period 2 bulb at the left of the cardioid (c=-1, the "basilica"). This creates a periodic point at which two dynamic rays land, and which hence separates the Julia set into (exactly) two components.

Bewegen Sie sich nun von dieser Komponente aus durch eine Verzweigung der Periode 3, und erstellen Sie einen periodischen Punkt der Periode 6 mit drei Strahlen, die darauf landen. (Dies ist die Komponente, die die oben gezeigten "tanzenden Kaninchen" enthält.) Fahren Sie fort mit einer Periode 4-Verzweigung, Periode 5 usw.

Im Limit erhalten Sie ein quadratisches Polynom mit unendlich vielen periodischen Punkten, an denen der Julia-Satz sogar topologisch sehr unterschiedlich ist, indem er den Julia-Satz in verschiedene Komponenten aufteilt.

(Weitere Einzelheiten zu dieser Art von Konstruktion finden Sie in Milnors Lokale Konnektivität von Julia-Sets: Expositorium-Vorträge , Abschnitt 3.)

Ich stelle fest, dass für ein quadratisches Polynom die einzigen Punkte, die mehr als zwei Landungsstrahlen haben können und daher das Julia-Set in mehr als zwei Teile trennen, Vorbilder sind, periodische Punkte abzustoßen. Jedes davon ist einer kleinen Kopie des Mandelbrot-Sets zugeordnet. Der obige Typ von Beispiel kann daher nur durch eine unendliche Anzahl von Renormalisierungen erhalten werden.

EDIT 2. As my original point does not seem to have come across to some, here are some pictures. For $$ c = 0.340095913765605+0.076587412582221i,$$ in the main cardioid, we obtain the following Julia set. Julia set of $z^2+c$ in the main cardioid

Here is the scaling limit near the $\beta$-fixedpoint, $$ z_0 = 0.618645316268697-0.322757842411465i:$$ Scaling limit near beta fixed point

Here is the scaling limit near a period 9 periodic point, $$ z_1 = 0.177144137748545 + 0.032520156063447i.$$ Scaling limit near period 9 point

Sie sehen, dass die Skalierungsgrenzen sehr unterschiedlich sind. (Bilder, die mit dem Fraktalprogramm "Winfeed" von Richard Parris, Version 2012, erstellt wurden.)

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Ich spreche von dem, was das OP gefragt hat - Skalieren von Grenzwerten an periodischen Punkten. Was Sie über Schnittpunkte sagen, wiederholt nur das, was ich in der Bearbeitung meiner Antwort und des vorherigen Kommentars sage. Schnittpunkte und Spiralen sind zwei verschiedene Dinge, die Sie ohne das andere haben können.
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
@AndreaDiBiagio Wenn ich Ihre Frage verstehe, geht es um die Skalierungsgrenze bei der Abweisung periodischer Punkte. Sie müssen also einen periodischen Punkt festlegen und in der Nähe vergrößern, um diese Skalierungsgrenze zu sehen. Es scheint, als hätten Sie sich nahe einem "interessanten" Punkt vergrößert, nämlich einem Punkt, der den Julia-Satz trennt. In Ihrem Fall gibt es jedoch nur zwei periodische Punkte, die den Julia-Satz trennen, und jeder andere Schnittpunkt ist ein Vorbild von einem von diesen und haben daher die gleiche Skalierungsgrenze durch Konformität, wie ich erkläre.
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@MarkMcClure Nein, es gibt unendlich viele verschiedene periodische Punkte im Julia-Set, von denen Sie erwarten, dass sie verschiedene Multiplikatoren und damit unterschiedliche Skalierungsgrenzen haben.
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@ MarkMcClure Es tut mir leid, aber Sie liegen falsch. Jede Karte in der Niere hat mit Ausnahme von z ^ 2 einen periodischen Punkt mit einem nicht-reellen Multiplikator und daher "spiraligem" Verhalten. Siehe Eremenko & van Strien, "Rationale Karten mit echten Multiplikatoren". Wenn Sie nahe genug an die Spitze kommen, jedoch tangential an der Grenze der Niere, können Sie die Spirale sehen.
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
Wenn der Modulator des Multiplikators zu weit von $ 1 $ entfernt ist, können Sie die Spirale nicht in einem Bild sehen, aber Sie können es immer noch beobachten, wenn Sie hineinzoomen Bilder, so kann man sich überzeugen.
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
PS. Ich habe nicht über Bahnen aller Perioden gesprochen. Die Periode des Orbits ist hier irrelevant, es ist der Multiplikator (für die Skalierungsgrenzstruktur) und die Anzahl der Strahlen , die im Orbit landen (für das andere Argument). . Es gibt nur eine Strahlenlandung an jedem Punkt für Karten in der Hauptkardioide, unabhängig von der Periode.
hinzugefügt der Autor isomorphismes, Quelle
"Wie @GNiklasch hervorhebt, scheinen Sie auf zwei Orte zu zoomen, die beide Vorbilder des gleichen abstoßenden periodischen Punktes sind". In der Tat ist dies sehr wahrscheinlich, da T2 sagt, dass die Vorbilder eines bestimmten Punktes auf $ J $ dicht sind. Aber T3 sagt, dass die Abweisung periodischer Punkte auch auf $ J $ dicht ist, und dass jeder von diesen a priori einen anderen Multiplikator haben sollte, was zu unterschiedlichem lokalen Verhalten führt.
hinzugefügt der Autor Remco Ros, Quelle
Ich vermute, wir sprechen hier über zwei verschiedene Dinge. Die Spiralen, die ich sehe, drehen sich um Schnittpunkte, an denen sich mehrere Komponenten des Julia-Sets treffen, und diese entstehen, wie gesagt, aus Gabelungen, und das ist für mich die dominante geometrische Form, die wir sehen. Ein solches Verhalten kann in der Hauptniere nicht auftreten. Ihre anderen Punkte sind jedoch interessant. Ich gucke mal.
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle
@Lasse Natürlich gibt es Umlaufbahnen aller Perioden, aber Sie können dasselbe für z ^ 2 sagen, dessen Julia-Set nur ein Kreis ist. Ich glaube nicht, dass es im Julia-Satz von z ^ 2 + c echte Spiralmuster für jedes c in der Hauptniere gibt. Spiralmuster werden erst sichtbar, wenn c eine Gabelung durchläuft. Für Ihr Beispiel gibt es zwei Verzweigungen, wenn c von der Hauptniere in die Glühlampe der Periode 2 und dann in die Glühlampe der Periode 3 übergeht. Deshalb sehen wir die zwei spezifischen Arten von Spiralen für diesen Julia-Satz.
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle
Das ist ganz nett und zeigt, dass Sie mehrere Spiralmuster in demselben Julia-Set haben können, aber ich frage mich, ob es vielleicht ein bisschen verfehlt. Das spezifische Spiralmuster, das Sie sehen, hängt davon ab, wo Sie den Julia-Satz vergrößern , aber der Satz aller möglichen Spiralmuster innerhalb des Julia-Satzes wird durch die Position des Parameters bestimmt, der vom Punkt $ c ausgewählt wird $ im Mandelbrot-Set. Soweit ich es verstehe, gibt es immer noch viele Spiralmuster in einem Julia-Set.
hinzugefügt der Autor Frank Groot, Quelle

In Anbetracht der Tatsache, dass ich angefangen habe, Bilder zu machen, dachte ich, es könnte sich lohnen, eine weitere, kürzere, direkte Antwort auf Ihre Fragen hinzuzufügen, zusätzlich zu meiner längeren, detaillierteren.

Question 1. Are the limits in your pictures the same (up to a linear map)?

Answer. Yes. The only points in your "double basilica" picture at which two bounded Fatou components (interior regions of the filled Julia set) meet are preimages of the same periodic point. (This is the $\alpha$-fixed point of the first renormalisation.) Hence the Julia set near the two points is related by a conformal map, and the two scaling limits are the same, up to a linear transformation.

Question 2. Are there only finitely many scaling limits? Answer. No. But you must focus in on different periodic points to observe them. In other words, first fix your periodic point, then zoom in.

Sie haben nicht den genauen Parameter für Ihr Beispiel angegeben, es gibt jedoch Skalierungsgrenzen für den Parameter $ c = -1.3 $. Volles Julia-Set:

Double basilica Julia set

Skalierungsgrenzen an den drei reellen periodischen Punkten $ x_1 = -0,744989959798873 $, $ x_2 = 0,241619848709566 $ und $ x_3 = 1,131900530695346 $ ($ \ alpha $ Festpunkt, $ \ alpha $ Festpunkt der ersten Renormierung und $ \ beta $ Festpunkt bzw.):

Schließlich liegt die Skalierungsgrenze nahe dem Zeitraum von 3 Punkten bei $ 1,131900530695346 + 0,227896812185643i $. Ich gebe drei aufeinanderfolgende Zooms (jeweils um einen Faktor 10 feiner), um die spiralförmige Struktur aufgrund des nicht-reellen Multiplikators hervorzuheben. Der periodische Punkt befindet sich in der Mitte jedes Bildes.

Sie können deutlich sehen, dass die Skalierungsgrenzen unterschiedlich sind. Sie können mehr periodische Punkte auswählen und mehr Skalierungsgrenzwerte erhalten.

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Wenn Sie ein unendlich renormalisierbares Polynom in Betracht ziehen, können Sie unendlich viele völlig unterschiedliche Bilder sehen. Beispielsweise gibt es $ c $, sodass Sie periodische Punkte $ x_n $ finden können, sodass $ K_c \ setminus \ {x_n \} $ genau $ n $ -Komponenten hat.

Ein solch unendlich unendlich normalisierbarer $ c $ befindet sich in einem unendlichen Nest von Baby-Mandelbrot-Sets. Wenn Sie den Baby-Mandelbrot-Satz für die Tiefe $ n + 1 $ in der $ 1/n $ -Erhöhung des Baby-Mandelbrot-Satzes für die Tiefe $ n $ auswählen, wird der sogenannte $ \ alpha $ -fixierte Punkt $ x_n $ der $ n $ -te Renormierung hat die Rotationsnummer $ 1/n $, daher hat $ K_c \ setminus \ {x_n \} $ $ n $ -Komponenten.

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